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...@@ -42,6 +42,9 @@ ...@@ -42,6 +42,9 @@
} -- cycle } -- cycle
} }
\newcommand{\interior}[1]{%
{\kern0pt#1}^{\mathrm{o}}%
}
% %
% Insert the name of "your journal" with % Insert the name of "your journal" with
% \journalname{myjournal} % \journalname{myjournal}
...@@ -265,9 +268,11 @@ Soit $\Cn$ et $U \subseteq \R^n$, $U$ est ouvert si et seulement si : ...@@ -265,9 +268,11 @@ Soit $\Cn$ et $U \subseteq \R^n$, $U$ est ouvert si et seulement si :
\begin{equation} \begin{equation}
\forall x \in U, \exists r \in \R : \B(x, r) \subseteq U \forall x \in U, \exists r \in \R : \B(x, r) \subseteq U
\end{equation} \end{equation}
En somme, il est impossible d'atteindre la frontière d'un ouvert on avancant d'un ouvert contenu ou égal à $U$. Ce comportement diffère fortement chez les fermés comme on le verra après. En somme, il est impossible d'atteindre la frontière d'un ouvert on avancant d'un ouvert contenu ou égal à $U$.
\end{theorem} \end{theorem}
\begin{figure} \begin{figure}
\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,inner sep=0.5pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-0pt}] \begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,inner sep=0.5pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-0pt}]
...@@ -287,6 +292,8 @@ En somme, il est impossible d'atteindre la frontière d'un ouvert on avancant d' ...@@ -287,6 +292,8 @@ En somme, il est impossible d'atteindre la frontière d'un ouvert on avancant d'
\end{center} \end{center}
\end{figure} \end{figure}
Ce comportement diffère fortement chez les fermés comme on le verra après.
On définit alors l'intérieur de $U$ noté $\interior{U}$ comme l'union de tout les ouverts contenus dans $U$. Il est évident d'après la définition que $U$ est ouvert si et seulement si $U = \interior{U}$. De même on définit \textit{l'adhérence de $U$} noté $\overline{U}$ comme l'intersection de tout les fermés contenant $U$. De même $U$ est fermé si et seulement si $U = \overline{U}$.
...@@ -305,6 +312,7 @@ $2^X$ & L'ensemble des sous ensembles de $X$\\ ...@@ -305,6 +312,7 @@ $2^X$ & L'ensemble des sous ensembles de $X$\\
$\B(x, r)$ & Boule ouverte de rayon $r$ et de centre $x$ \\ $\B(x, r)$ & Boule ouverte de rayon $r$ et de centre $x$ \\
$\mathtt{B}$ & Ensemble des boules ouvertes de rayon réel et de centre dans $\R^n$\\ $\mathtt{B}$ & Ensemble des boules ouvertes de rayon réel et de centre dans $\R^n$\\
$\overline{A}$ & Adhérance de $A$ \\ $\overline{A}$ & Adhérance de $A$ \\
$\interior{A}$ & Intérieur de $A$\\
$\partial A$ & Frontière de $A$ \\ $\partial A$ & Frontière de $A$ \\
$d_2$ & Métrique euclidiène \\ $d_2$ & Métrique euclidiène \\
$\tau_{\R^n}$ & Ensemble des ouverts (induits par $d_2$) de $\R^n$\\ $\tau_{\R^n}$ & Ensemble des ouverts (induits par $d_2$) de $\R^n$\\
......
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