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\usepackage{tikz} \usepackage{tikz}
\usepackage{amsmath} \usepackage{amsmath}
\usepackage[french]{babel} \usepackage[francais]{babel}
\usepackage{amssymb} \usepackage{amssymb}
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...@@ -182,7 +182,9 @@ Il s'agit là d'une notion intuitive de frontière et de proximite. Cette intuit ...@@ -182,7 +182,9 @@ Il s'agit là d'une notion intuitive de frontière et de proximite. Cette intuit
\paragraph{Définitions formalisées} \paragraph{Définitions formalisées}
Cette section s'interesse à donner les définitions de quelques structures qui seront utiles pour la suite et qui ont été motivées à la section précédente. Cette section s'interesse à donner les définitions de quelques structures qui seront utiles pour la suite et qui ont été motivées à la section précédente.
\begin{definition} [Métrique euclidienne]
\begin{definition} [Métrique euclidienne] \label{Euclid}
Soit $n\in \N $ et $x,y \in \R^n$, on définit la métrique euclidienne $d_2^n : \R^n \times \R^n \rightarrow \R$ par (on omet le $n$ quand le contexte est évident par intense flemmardise de l'auteur) : Soit $n\in \N $ et $x,y \in \R^n$, on définit la métrique euclidienne $d_2^n : \R^n \times \R^n \rightarrow \R$ par (on omet le $n$ quand le contexte est évident par intense flemmardise de l'auteur) :
\begin{equation} \begin{equation}
d_2(x, y) = \sqrt{\sum_{i = 0}^n (x_i - y_i)^2)} d_2(x, y) = \sqrt{\sum_{i = 0}^n (x_i - y_i)^2)}
...@@ -206,7 +208,9 @@ C'est la métrique que nous simples humains utilisons dans notre vie concrète. ...@@ -206,7 +208,9 @@ C'est la métrique que nous simples humains utilisons dans notre vie concrète.
\end{definition} \end{definition}
On peut désormais définir rigoureusement les notions évoquées à la section précédente : On peut désormais définir rigoureusement les notions évoquées à la section précédente :
\begin{definition} [Boule ouverte] \begin{definition} [Boule ouverte]
Soit $\Cx$ et $r\in \R$. On définit la \textit{boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$} par l'ensemble : Soit $\Cx$ et $r\in \R$. On définit la \textit{boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$} par l'ensemble :
\begin{equation} \begin{equation}
\B(x, r) = \{ y \in \R^n \mid d_2(x, y) < r \} \subseteq \R^n \B(x, r) = \{ y \in \R^n \mid d_2(x, y) < r \} \subseteq \R^n
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\end{definition} \end{definition}
\begin{definition} [Boule fermée] \begin{definition} [Boule fermée]
Soit $\Cx$ et $r\in \R$. On définit la \textit{boule fermée de centre $x$ et de rayon $r$} par l'ensemble : Soit $\Cx$ et $r\in \R$. On définit la \textit{boule fermée de centre $x$ et de rayon $r$} par l'ensemble :
\begin{equation} \begin{equation}
\overline{\B(x, r)} = \{ y \in \R^n \mid d_2(x, y) \leq r \} \subseteq \R^n \overline{\B(x, r)} = \{ y \in \R^n \mid d_2(x, y) \leq r \} \subseteq \R^n
...@@ -221,6 +226,7 @@ On peut désormais définir rigoureusement les notions évoquées à la section ...@@ -221,6 +226,7 @@ On peut désormais définir rigoureusement les notions évoquées à la section
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition} [Frontière d'une boule] \begin{definition} [Frontière d'une boule]
Soit $\Cx$ et $r\in \R$. On définit la \textit{frontière} de la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$ par l'ensemble : Soit $\Cx$ et $r\in \R$. On définit la \textit{frontière} de la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$ par l'ensemble :
\begin{equation} \begin{equation}
\partial \B(x, r) = \{ y \in \R^n \mid d_2(x, y) = r \} \subseteq \R^n \partial \B(x, r) = \{ y \in \R^n \mid d_2(x, y) = r \} \subseteq \R^n
...@@ -230,6 +236,7 @@ On peut désormais définir rigoureusement les notions évoquées à la section ...@@ -230,6 +236,7 @@ On peut désormais définir rigoureusement les notions évoquées à la section
On peut désormais définir la notion d'ouvert et de fermé grace à notre nouvelle intuition. Les ouverts sont des "recollements" de boules ouvertes et les fermés sont des "découpages" de boules fermées On peut désormais définir la notion d'ouvert et de fermé grace à notre nouvelle intuition. Les ouverts sont des "recollements" de boules ouvertes et les fermés sont des "découpages" de boules fermées
\begin{definition} [Ouverts et fermés] \begin{definition} [Ouverts et fermés]
Soit $\Cn$ on définit l'ensemble des ouverts (engendrés par $d_2$) noté $\tau_{\R^n} \subseteq 2^{\R^n}$ par l'ensemble des sous ensembles de $\R^n$ qui sont des unions de boules ouvertes. Si on note $\mathtt{B}$ l'ensemble des boules ouvertes sur $\R^n$ on obtiens : Soit $\Cn$ on définit l'ensemble des ouverts (engendrés par $d_2$) noté $\tau_{\R^n} \subseteq 2^{\R^n}$ par l'ensemble des sous ensembles de $\R^n$ qui sont des unions de boules ouvertes. Si on note $\mathtt{B}$ l'ensemble des boules ouvertes sur $\R^n$ on obtiens :
\begin{equation} \begin{equation}
\forall E \subseteq \R^n E \in \tau_{\R^n} \Leftrightarrow \exists U \subseteq \mathtt{B} \text{ tel que } E = \cup_{B \in U} B \forall E \subseteq \R^n E \in \tau_{\R^n} \Leftrightarrow \exists U \subseteq \mathtt{B} \text{ tel que } E = \cup_{B \in U} B
...@@ -277,11 +284,12 @@ En particulier, un fermé \textit{borné} (contenu dans une boule ouverte de ray ...@@ -277,11 +284,12 @@ En particulier, un fermé \textit{borné} (contenu dans une boule ouverte de ray
\end{figure} \end{figure}
\subsection{Propriétés et caractérisation des ouverts et fermés de $\R^n$} \subsection{Propriétés et caractérisations des ouverts et fermés de $\R^n$}\label{Caract}
Il convient désormais de trouver une caractérisation plus simple d'un ouvert, en effet la réunion de boule ouverte a beau être très visuelle elle n'aide pas à caractériser les ouverts dans la pratique puisqu'elle requiert de trouver une union dd'ouvert qui recouvre parfaitement l'ensemble fournit ou de prouver qu'il n'en n'existe pas. On revient alors à notre intuition de proximité. Il convient désormais de trouver une caractérisation plus simple d'un ouvert, en effet la réunion de boule ouverte a beau être très visuelle elle n'aide pas à caractériser les ouverts dans la pratique puisqu'elle requiert de trouver une union dd'ouvert qui recouvre parfaitement l'ensemble fournit ou de prouver qu'il n'en n'existe pas. On revient alors à notre intuition de proximité.
On sait que il n'y a pas de points plus proches de la frontière que ceux dans l'ouvert associé. La réciproque, "il n'existe pas d'elements plus proche d'un ouvert $U$ (qui ne soit pos dans $U$) que ceux de sa frontière" est juste. On s'appuie sur cette propriété pour la caractérisation suivante : On sait que il n'y a pas de points plus proches de la frontière que ceux dans l'ouvert associé. La réciproque, "il n'existe pas d'elements plus proche d'un ouvert $U$ (qui ne soit pos dans $U$) que ceux de sa frontière" est juste. On s'appuie sur cette propriété pour la caractérisation suivante :
\begin{theorem} [Caractérisation des ouverts] \begin{theorem} [Caractérisation des ouverts]
Soit $\Cn$ et $U \subseteq \R^n$, $U$ est ouvert si et seulement si : Soit $\Cn$ et $U \subseteq \R^n$, $U$ est ouvert si et seulement si :
\begin{equation} \begin{equation}
...@@ -350,20 +358,22 @@ On définit alors l'intérieur de $U$ noté $\interior{U}$ comme l'union de tou ...@@ -350,20 +358,22 @@ On définit alors l'intérieur de $U$ noté $\interior{U}$ comme l'union de tou
Visuellement, l'adhérence de $U$ peut être pensée comme la meilleure approximation fermée de $U$ qui contienne $U$. De même l'intérieur est la meilleure approximation ouverte de $U$ qui soit contenue dans $U$. Visuellement, l'adhérence de $U$ peut être pensée comme la meilleure approximation fermée de $U$ qui contienne $U$. De même l'intérieur est la meilleure approximation ouverte de $U$ qui soit contenue dans $U$.
\paragraph{Caractérisation par les voisinnages} \paragraph{Caractérisation par les voisinnages} \label{Vois}
Il est possible de décrire de manière plus pratique l'intérieur et l'adhérence d'un ensemble à l'instar de ce qui est fait au Théorème~\ref{thmCaract}, la caractérisation de l'intérieur sera très similaire à celle d'un ouvert et s'explique comme auparavant.En effet l'intérieur comme il est ouvert contient un voisinnage de chacun de ses points. Pour l'adhérence il faut garder en tête que les points du bord sont les plus proches points de l'ensemble qu'ils entourent. Ainsi il serait impossible de trouver un voisinnage d'un point du bord qui n'intersècte pas l'ensemble d'origine puisque celà identifirai un "espace" entre l'ensemble et son bord. Il est possible de décrire de manière plus pratique l'intérieur et l'adhérence d'un ensemble à l'instar de ce qui est fait au Théorème~\ref{thmCaract}, la caractérisation de l'intérieur sera très similaire à celle d'un ouvert et s'explique comme auparavant.En effet l'intérieur comme il est ouvert contient un voisinnage de chacun de ses points. Pour l'adhérence il faut garder en tête que les points du bord sont les plus proches points de l'ensemble qu'ils entourent. Ainsi il serait impossible de trouver un voisinnage d'un point du bord qui n'intersècte pas l'ensemble d'origine puisque celà identifirai un "espace" entre l'ensemble et son bord.
\begin{theorem} [Caractérisation de l'adhérance par les voisinnages] \begin{theorem} [Caractérisation de l'adhérance par les voisinnages]
Soit $\Cn$, $A\subseteq \R^n$ alors : Soit $\Cn$, $A\subseteq \R^n$ alors :
\begin{equation} \begin{equation}
\forall x \in \R^n, x \in \overline{A} \Leftrightarrow \forall U\in \tau_{\R^n} x\in U \implies U \cap A \neq \emptyset \forall x \in \R^n, x \in \overline{A} \Leftrightarrow \forall U\in \tau_{\R^n} x\in U \implies U \cap A \neq \emptyset
\end{equation} \end{equation}
\end{theorem} \end{theorem}
\paragraph{Caractérisation par les suites} \paragraph{Caractérisation par les suites} \label{Suites}
\begin{definition} [Suites] \begin{definition} [Suites]
Soit $\Cn$, on dit d'une fonction $x:\N \rightarrow \R^n$ qu'il s'agit d'une suite. De plus soit $l\in \R^n$, si pour tout voisinnages $U$ de $l$, il existe un $N\in \N$ tel que Soit $\Cn$, on dit d'une fonction $x:\N \rightarrow \R^n$ qu'il s'agit d'une suite. De plus soit $l\in \R^n$, si pour tout voisinnages $U$ de $l$, il existe un $N\in \N$ tel que
\begin{equation} \begin{equation}
\forall k > N, x(k) \in U \forall k > N, x(k) \in U
...@@ -398,6 +408,7 @@ Cette caractérisation est identique aux epsilon delta (prenez pour voisinnage $ ...@@ -398,6 +408,7 @@ Cette caractérisation est identique aux epsilon delta (prenez pour voisinnage $
\end{figure} \end{figure}
Les suites de part leur notion de limite ont un lien avec la notion de fermé et d'ouvert illustré dans le théorème qui suit. L'intuition est que la limite est un élément dont on peut s'approcher infiniment près grace à la suite (comme avec les ouverts et leur bords). Les suites de part leur notion de limite ont un lien avec la notion de fermé et d'ouvert illustré dans le théorème qui suit. L'intuition est que la limite est un élément dont on peut s'approcher infiniment près grace à la suite (comme avec les ouverts et leur bords).
\begin{theorem}[Caractérisation de la notion de fermé par les suites] \begin{theorem}[Caractérisation de la notion de fermé par les suites]
Soit $\Cn$, $A\subseteq \R^n$, et $x : \N \rightarrow \R^n$ telle que $\forall k \in \N, x(k) \in A$. Alors si $x$ converge : Soit $\Cn$, $A\subseteq \R^n$, et $x : \N \rightarrow \R^n$ telle que $\forall k \in \N, x(k) \in A$. Alors si $x$ converge :
...@@ -409,11 +420,11 @@ De plus $\forall a \in \overline{A}$, il existe $x_a : \N \rightarrow \R^n$. Ain ...@@ -409,11 +420,11 @@ De plus $\forall a \in \overline{A}$, il existe $x_a : \N \rightarrow \R^n$. Ain
\end{theorem} \end{theorem}
Pour les points dans l'intérieur de $A$ ce théorème est trivial puisque la suite constante convient ($\forall a \in \interior{A}$ on choisit $ x: \N \rightarrow \R^n$ tel que $\forall k \in \N, x(k) = a$ alors $\limitseq x = a$). Le théorème est plus interessant pour les points du bords de $A$ pour lesquels il explicite la notion de proximité avec l'ensemble $A$. Un point du bord est aussi proche d'un point de $A$ qu'un point d'une suite peut être proche de sa limite. Cette condition est le plus souvent utilisée comme propriété des fermé ou comme outil pour démontrer qu'un ensemble n'est pas fermé. Pour les points dans l'intérieur de $A$ ce théorème est trivial puisque la suite constante convient ($\forall a \in \interior{A}$ on choisit $ x: \N \rightarrow \R^n$ tel que $\forall k \in \N, x(k) = a$ alors $\limitseq x = a$). Le théorème est plus interessant pour les points du bords de $A$ pour lesquels il explicite la notion de proximité avec l'ensemble $A$. Un point du bord est aussi proche d'un point de $A$ qu'un point d'une suite peut être proche de sa limite. Cette condition est le plus souvent utilisée comme propriété des fermé ou comme outil pour démontrer qu'un ensemble n'est pas fermé.
\newpage
\section{Fonctions $\Cr$} \label{Func}
\section{Fonctions $\Cr$} Dans cette section on étudiera les différentes condition de régularité que l'on peut imposer à une fonction. Une métaphore utile est de considérer la \textit{rigidité} d'une fonction, à quel point une fonction peut être déformée rapidement locallement. Une fonciton continue peut avoir une variation arbitraire en bref plier selon n'importequel angle, à l'inverse les fonctions lees plus régulières que nous considèreront, les fonctions $\C^\infty$ ne peuvent varier que sufisemment lentement. Pour l'étude de ces fonctions on s'appuira sur le schéma suivant :
Dans cette section on étudiera les différentes condition de régularité que l'on peut imposer à une fonction. Une métaphore utile est de considérer la \textit{rigidité} d'une fonction, à quel point une fonction peut être déformée rapidement locallement. Une fonciton continue peut avoir une variation arbitraire en bref plier selon n'importequel angle, à l'inverse les fonctions lees plus régulières que nous considèreront, les fonctions $\C^\infty$ ne peuvent varier que sufisemment lentement. Pour l'étude de ces fonctions on s'appuira sur le shcéma suivant :
...@@ -432,8 +443,8 @@ Dans cette section on étudiera les différentes condition de régularité que l ...@@ -432,8 +443,8 @@ Dans cette section on étudiera les différentes condition de régularité que l
\draw (c) circle (2.15cm); \draw (c) circle (2.15cm);
\draw (c) circle (2.5cm); \draw (c) circle (2.5cm);
\draw (c) circle (2.85cm); \draw (c) circle (2.85cm);
\draw (c) ellipse (5cm and 3.3cm); \draw [blue](0.5, 0) ellipse (4.4cm and 3cm);
\draw (-0.5,0) ellipse (4.3cm and 3cm); \draw [red](-0.5,0) ellipse (4.3cm and 3cm);
\node[label=$\C^\infty$] at (0,-0.3) {}; \node[label=$\C^\infty$] at (0,-0.3) {};
\node[label=$\ldots$] at (1.35,-0.3) {}; \node[label=$\ldots$] at (1.35,-0.3) {};
...@@ -442,8 +453,8 @@ Dans cette section on étudiera les différentes condition de régularité que l ...@@ -442,8 +453,8 @@ Dans cette section on étudiera les différentes condition de régularité que l
\node[label=$\C^1$] at (2.33,-0.3) {}; \node[label=$\C^1$] at (2.33,-0.3) {};
\node[label=$\D^1$] at (2.7,-0.3) {}; \node[label=$\D^1$] at (2.7,-0.3) {};
\node[label=$\C^0$] at (4,-0.3) {}; \node[label=$\C^0$] at (4.2,-0.3) {};
\node[label=$P^1$] at (-3.5,-0.3) {}; \node[label=$P^1$] at (-4.2,-0.3) {};
\end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
...@@ -451,6 +462,7 @@ Dans cette section on étudiera les différentes condition de régularité que l ...@@ -451,6 +462,7 @@ Dans cette section on étudiera les différentes condition de régularité que l
\label{fig:6} \label{fig:6}
\end{center} \end{center}
\end{figure} \end{figure}
Soit $\forall k, n \in \N$, on notera alors : Soit $\forall k, n \in \N$, on notera alors :
\begin{description} \begin{description}
...@@ -461,8 +473,57 @@ Soit $\forall k, n \in \N$, on notera alors : ...@@ -461,8 +473,57 @@ Soit $\forall k, n \in \N$, on notera alors :
\item [$\C^\infty(\R^n)$] L'ensemble des fonctions $\R^n \rightarrow \R$ $r$ fois continuement dérivables pour tout $r\in \N$. \item [$\C^\infty(\R^n)$] L'ensemble des fonctions $\R^n \rightarrow \R$ $r$ fois continuement dérivables pour tout $r\in \N$.
\end{description} \end{description}
dcs On étudiera ces fonctions dans l'ordre décroissant d'inclusions (en commencant par les fonctions continues) puis appliqueront ces connaissances à la résolution d'équations différentielles et au calcul d'intégrales.
\\
\subsection{Fonctions continues de $\R^n$ dans $\R$}
Soit $\Cn$, on possède maintenant une \textit{topologie} sur $\R^n$ à savoir un ensemble d'ensembles ouverts sur $\R^n$. On peut donc désormais formuler la notion de continuité pour des fonctions et ce qu'elle implique. La définition la plus abstraite que l'on peut faire d'une fonction continue est \textit{la préimage d'un ouvert par cette fonction est ouvert}. Cette caractérisation peut souvent être très utile mais dans le cas de $\R^n$ on possède une métrique et il est donc possible de formuler la continuité plus intuitivement grace à une généralisation de la définition en epsilon delta sur $\R$.
\begin{definition} [Fonction continue]
Soit $\Cn$, et $U\in \tau_{\R^n}$, $\mathcal{F}(U, \R)$ l'ensemble des fonctions de $U$ dans $\R$, on définit l'ensemble des fonctions \textit{continues} de $U$ dans $\R$, $\C^0(U, \R) \subseteq \mathcal{F}(U, \R)$ par :
\begin{equation}
\{ f: U \rightarrow \R \mid \forall x \in U, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists \delta \in \R^*_+ \text{ } \newline \forall y \in \B(x, \delta) \cap U \implies \vert f(x) - f(y)\vert < \epsilon \}
\end{equation}
$\forall k \in \N$ on peut similairement définir les fonctions continues de $\R^n$ dans $\R^k$ en remplacant la dernière valeur absolue par la distance euclidienne définie à la definition~\ref{Euclid}.
\end{definition}
L'ensemble des focntions continues sur $\R^n$ à valeurs dans $\R$ (ou dans $\R^k$) muni de l'addition en chaque point forme un espace vectoriel de dimension infinie sur $\R$. Il s'agit même d'un \textit{anneau} ce qui se traduit par les propriétés suivantes :
\begin{theorem} [Anneau des fonctions continues]
Soit $\Cn$ et $U\in \tau_{\R^n}$ alors $\forall f, g \in \C^0(U, \R)$ et $\alpha \in \R$ on a :
\begin{equation}
\alpha f \in \C^0(U, \R) \quad (\forall x \in U , (\alpha f)(x) = \alpha f(x))
\end{equation}
\begin{equation}
f + g \in \C^0(U, \R) \quad (\forall x \in U , (f+g)(x) = f(x) + g(x))
\end{equation}
Ces propriétés en font un espace vectoriel avec la présence de la fonciton constant valant $0$. La propriété suivante avec qulques propriétés triviales de distributivités de la multiplication en fait un anneau :
\begin{equation}
fg \in \C^0(U, \R) \quad (\forall x \in U (fg)(x) = f(x)g(x) )
\end{equation}
En bref la propriété d'etre continue est stable par addition, par multiplication par un réel et par multiplication par une fonciton continue. Ces propriétés sont très utiles pour décider si une fonciton est continue ou pas.
\end{theorem}
A la vue d'une fonction que l'on vous demande d'étudier demandez vous si vous pouvez la décomposer comme somme ou produit de foncitons que vous savez continues. Une autre propriété de stabilité est celle par \textit{composition}. Soit $X, Y, Z$ des ensembles et $g : X \rightarrow Y, f : Y \rightarrow Z$ on note $f \circ g$ la focntion $X \rightarrow Z$ définie par $\forall x \in X, f\circ g(x) = f(g(x))$.
\begin{theorem} [Algèbbre des fonctions continues]
Soit $k, n \in \N$ et $U\in \tau_{\R^n}, V \in \R^k$, $f \in \C^0(U, V)$, et $ g \in \C^0(V, \R)$ alors :
\begin{equation}
g\circ f \in \C^0(\R^n, \R)
\end{equation}
\end{theorem}
\newpage
% For tables use % For tables use
\begin{table*}[htb] \begin{table*}[htb]
% table caption is above the table % table caption is above the table
......
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