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topologie finie

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\newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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...@@ -45,6 +44,12 @@ ...@@ -45,6 +44,12 @@
\newcommand{\interior}[1]{% \newcommand{\interior}[1]{%
{\kern0pt#1}^{\mathrm{o}}% {\kern0pt#1}^{\mathrm{o}}%
} }
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% %
% Insert the name of "your journal" with % Insert the name of "your journal" with
% \journalname{myjournal} % \journalname{myjournal}
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\section{$\R^n$ et sa topologie} \label{intro} \section{$\R^n$ et sa topologie} \label{intro}
\subsection{Rappels : Opérations sur des ensembles } \label{Ens} \subsection{Rappels : Opérations sur des ensembles } \label{Ens}
\paragraph{ \textbf{Espaces produits}} On rappelle qu'a tout ensembles $A,B$ on peut associer un ensemble nommé \textit{produit cartésien} de $A$ et $B$ noté $A \times B$ défini comme étant l'ensemble des paires d'éléments de $A$ et $B$, plus formellement $A \times B = \{ (a,b) \mid a \in A \text{ et } b \in B \}$. Cette opération est évidemment associative (les deux enssembles $A \times (B \times C)$ et $(A \times B) \times C$ sont en bijection) donc on ommetra les parenthèses lors du produit de plus de deux ensembles. On note en particulierr $A \times A = A^2$ et récursivement pour $n\in \N$, $A \times A^n = A^{n+1}$. Soit $n\in \N$, et $x \in A^n$ on définit $\forall i \leq n$ $x_i \in A$ comme la $i$-ème composante du $n$-uplet $x$ et si $\forall j \leq n,$ $x_i = x_j = a \in A$ (toutes les composantes sont égales et valent $a$) on note $x = a_{A^n}$ \paragraph{ \textbf{Espaces produits}}
On rappelle qu'a tout ensembles $A,B$ on peut associer un ensemble nommé \textit{produit cartésien} de $A$ et $B$ noté $A \times B$ défini comme étant l'ensemble des paires d'éléments de $A$ et $B$, plus formellement $A \times B = \{ (a,b) \mid a \in A \text{ et } b \in B \}$. Cette opération est évidemment associative (les deux enssembles $A \times (B \times C)$ et $(A \times B) \times C$ sont en bijection) donc on ommetra les parenthèses lors du produit de plus de deux ensembles. On note en particulierr $A \times A = A^2$ et récursivement pour $n\in \N$, $A \times A^n = A^{n+1}$. Soit $n\in \N$, et $x \in A^n$ on définit $\forall i \leq n$ $x_i \in A$ comme la $i$-ème composante du $n$-uplet $x$ et si $\forall j \leq n,$ $x_i = x_j = a \in A$ (toutes les composantes sont égales et valent $a$) on note $x = a_{A^n}$
Pour des raisons purement géométrique on appelera $\R^2$ le \textit{plan} et $\R^3$ \textit{l'espace}. En effet c'est ainsi qu'on se les représentera pour le reste du résumé. On confondra le nom de \textit{point} et d'élément d'un ensemble. Pour des raisons purement géométrique on appelera $\R^2$ le \textit{plan} et $\R^3$ \textit{l'espace}. En effet c'est ainsi qu'on se les représentera pour le reste du résumé. On confondra le nom de \textit{point} et d'élément d'un ensemble.
\paragraph{ \textbf{Dénombrement}} On dit d'un ensemble qu'il est \textit{dénombrable} si il existe une bijection entre lui et (un sous ensemble de) l'ensemble $\N$. Entre autres, tout ensemble fini est dénombrable, $\Q, \Z, \N$ et n'importe quel produit cartésien fini($\Q^2, \Z \times \N \ldots$) de ces ensembles est dénombrable. \paragraph{ \textbf{Dénombrement}}
On dit d'un ensemble qu'il est \textit{dénombrable} si il existe une bijection entre lui et (un sous ensemble de) l'ensemble $\N$. Entre autres, tout ensemble fini est dénombrable, $\Q, \Z, \N$ et n'importe quel produit cartésien fini($\Q^2, \Z \times \N \ldots$) de ces ensembles est dénombrable.
\paragraph{ \textbf{Ensemble des parties d'un ensemble}} Soit $A$ un ensemble on note $2^X$ l'ensemble des sous ensembles de $A$ ( la notation fait référence à la cardinalité de $2^X$ pour $X$ fini). \paragraph{ \textbf{Ensemble des parties d'un ensemble}}
Soit $A$ un ensemble on note $2^X$ l'ensemble des sous ensembles de $A$ ( la notation fait référence à la cardinalité de $2^X$ pour $X$ fini).
\subsection{Ouverts : Motivations} \label{Ouv} \subsection{Ouverts : Motivations} \label{Ouv}
\paragraph{ \textbf{Métrique, proximité et intuitions}} On définit les notions de ce chapitre dans $\R^n$ pour $n \in \N$ mais on les illustrera systématiquement dans $\R^2$. \paragraph{ \textbf{Métrique, proximité et intuitions}}
On définit les notions de ce chapitre dans $\R^n$ pour $n \in \N$ mais on les illustrera systématiquement dans $\R^2$.
Cette première section a pour but de motiver l'utilisation d'ouverts et d'en donner une explication intuitive.\\ Cette première section a pour but de motiver l'utilisation d'ouverts et d'en donner une explication intuitive.\\
Soit $x_0$ un point du plan, il est interessant de se demander comment parler de points \textit{proches} de $x_0$. Comme le plan n'est pas borné (il s'étend à l'infini) la sphère de rayon $1$ et de centre $x_0$ n'est pas particulièrement petite et celle de rayon $10^{100}$ pas particulièrement grande à l'échelle de $\R^2$. Pour définir la notion de proximité il faut donc s'attacher à une notion différente que la "taille" de l'ensemble considéré. Une des plus belles constructions mathématiques du \emph{XIX} siècle caractérise la proximité par la notion \textit{d'ouverts}. Pour cela on utilise la notion de métrique, une fonction $d : \R^n \times \R^n \rightarrow \R$ qui fournit une notion de distance sur $\R^n$. Plus précisément elle doit respecter des lois de positivité, nullité seulement pour un même point et la loi du triangle. Soit $x_0$ un point du plan, il est interessant de se demander comment parler de points \textit{proches} de $x_0$. Comme le plan n'est pas borné (il s'étend à l'infini) la sphère de rayon $1$ et de centre $x_0$ n'est pas particulièrement petite et celle de rayon $10^{100}$ pas particulièrement grande à l'échelle de $\R^2$. Pour définir la notion de proximité il faut donc s'attacher à une notion différente que la "taille" de l'ensemble considéré. Une des plus belles constructions mathématiques du \emph{XIX} siècle caractérise la proximité par la notion \textit{d'ouverts}. Pour cela on utilise la notion de métrique, une fonction $d : \R^n \times \R^n \rightarrow \R$ qui fournit une notion de distance sur $\R^n$. Plus précisément elle doit respecter des lois de positivité, nullité seulement pour un même point et la loi du triangle.
Pour cette introduction on ne considèrera que la distance dite \textit{euclidienne} qui consiste à prendre la racine de la somme des carrés des différences des composantes de deux points (définitions formelles à la section~\ref{Top} ).\\\linebreak Pour cette introduction on ne considèrera que la distance dite \textit{euclidienne} qui consiste à prendre la racine de la somme des carrés des différences des composantes de deux points (définitions formelles à la section~\ref{Top} ).\\\linebreak
\paragraph{ \textbf{Boules ouvertes et fermées}} Si l'on considère l'ensemble des points à une distance inférieure ou égale à $r\in \R$ de $x_0$ dans le plan on récupère la \textit{boule fermée de rayon $r$ autour de $x_0$} que l'on note $\overline{\B(x_0, r)}$ (notez bien la barre au dessus). Les points qui sont à la distance précisément $r$ de $x_0$ forment une sphère (sans l'intérieur) et sont la frontière entre domaine et le plan (imaginez donc un pays circulaire, ce sont ces points qu'on appelerai sa frontiere sur une carte), on note cet ensemble $\partial \B(x_0, r)$. Enfin les points qui sont à une distance strictement inférieure à $r$ de $x_0$ sont notés $\B(x_0, r)$ et est appelé boule \textit{ouverte} de centre $x_0$ et de rayon $r$.
\paragraph{ \textbf{Boules ouvertes et fermées}}
Si l'on considère l'ensemble des points à une distance inférieure ou égale à $r\in \R$ de $x_0$ dans le plan on récupère la \textit{boule fermée de rayon $r$ autour de $x_0$} que l'on note $\overline{\B(x_0, r)}$ (notez bien la barre au dessus). Les points qui sont à la distance précisément $r$ de $x_0$ forment une sphère (sans l'intérieur) et sont la frontière entre domaine et le plan (imaginez donc un pays circulaire, ce sont ces points qu'on appelerai sa frontiere sur une carte), on note cet ensemble $\partial \B(x_0, r)$. Enfin les points qui sont à une distance strictement inférieure à $r$ de $x_0$ sont notés $\B(x_0, r)$ et est appelé boule \textit{ouverte} de centre $x_0$ et de rayon $r$.
\begin{figure}[htb!] \begin{figure}[htb!]
\centering \centering
...@@ -163,7 +179,9 @@ Il s'agit là d'une notion intuitive de frontière et de proximite. Cette intuit ...@@ -163,7 +179,9 @@ Il s'agit là d'une notion intuitive de frontière et de proximite. Cette intuit
\subsection{Topologie standard de $\R^n$} \label{Top} \subsection{Topologie standard de $\R^n$} \label{Top}
\paragraph{Définitions formalisées} Cette section s'interesse à donner les définitions de quelques structures qui seront utiles pour la suite et qui ont été motivées à la section précédente. \paragraph{Définitions formalisées}
Cette section s'interesse à donner les définitions de quelques structures qui seront utiles pour la suite et qui ont été motivées à la section précédente.
\begin{definition} [Métrique euclidienne] \begin{definition} [Métrique euclidienne]
Soit $n\in \N $ et $x,y \in \R^n$, on définit la métrique euclidienne $d_2^n : \R^n \times \R^n \rightarrow \R$ par (on omet le $n$ quand le contexte est évident par intense flemmardise de l'auteur) : Soit $n\in \N $ et $x,y \in \R^n$, on définit la métrique euclidienne $d_2^n : \R^n \times \R^n \rightarrow \R$ par (on omet le $n$ quand le contexte est évident par intense flemmardise de l'auteur) :
\begin{equation} \begin{equation}
...@@ -216,7 +234,7 @@ On peut désormais définir la notion d'ouvert et de fermé grace à notre nouve ...@@ -216,7 +234,7 @@ On peut désormais définir la notion d'ouvert et de fermé grace à notre nouve
\begin{equation} \begin{equation}
\forall E \subseteq \R^n E \in \tau_{\R^n} \Leftrightarrow \exists U \subseteq \mathtt{B} \text{ tel que } E = \cup_{B \in U} B \forall E \subseteq \R^n E \in \tau_{\R^n} \Leftrightarrow \exists U \subseteq \mathtt{B} \text{ tel que } E = \cup_{B \in U} B
\end{equation} \end{equation}
Si $x \in \R^n$, un ouvert qui contient $x$s'appelle un \textit{voisinnage} de $x$. Si $x \in \R^n$, un ouvert qui contient $x$ s'appelle un \textit{voisinnage} de $x$.
On définit les fermés comme étant les \textit{complémentaires} d'ouverts dans $\R^n$ (si $U \in \tau_{\R^n}$ alors $\R^n - U$ est fermé). De manière équivalente si on note $ \overline{\mathtt{B}}$ l'ensemble des boules ouvertes sur $\R^n$ on peut définir que les fermés sont les intersections de boules fermées à savoir : On définit les fermés comme étant les \textit{complémentaires} d'ouverts dans $\R^n$ (si $U \in \tau_{\R^n}$ alors $\R^n - U$ est fermé). De manière équivalente si on note $ \overline{\mathtt{B}}$ l'ensemble des boules ouvertes sur $\R^n$ on peut définir que les fermés sont les intersections de boules fermées à savoir :
\begin{equation} \begin{equation}
\forall E \subseteq \R^n E \text{ fermé } \Leftrightarrow \exists F \subseteq \overline{\mathtt{B}} \text{ tel que } E = \cap_{B \in F} B \forall E \subseteq \R^n E \text{ fermé } \Leftrightarrow \exists F \subseteq \overline{\mathtt{B}} \text{ tel que } E = \cap_{B \in F} B
...@@ -258,6 +276,8 @@ En particulier, un fermé \textit{borné} (contenu dans une boule ouverte de ray ...@@ -258,6 +276,8 @@ En particulier, un fermé \textit{borné} (contenu dans une boule ouverte de ray
\end{center} \end{center}
\end{figure} \end{figure}
\subsection{Propriétés et caractérisation des ouverts et fermés de $\R^n$}
Il convient désormais de trouver une caractérisation plus simple d'un ouvert, en effet la réunion de boule ouverte a beau être très visuelle elle n'aide pas à caractériser les ouverts dans la pratique puisqu'elle requiert de trouver une union dd'ouvert qui recouvre parfaitement l'ensemble fournit ou de prouver qu'il n'en n'existe pas. On revient alors à notre intuition de proximité. Il convient désormais de trouver une caractérisation plus simple d'un ouvert, en effet la réunion de boule ouverte a beau être très visuelle elle n'aide pas à caractériser les ouverts dans la pratique puisqu'elle requiert de trouver une union dd'ouvert qui recouvre parfaitement l'ensemble fournit ou de prouver qu'il n'en n'existe pas. On revient alors à notre intuition de proximité.
On sait que il n'y a pas de points plus proches de la frontière que ceux dans l'ouvert associé. La réciproque, "il n'existe pas d'elements plus proche d'un ouvert $U$ (qui ne soit pos dans $U$) que ceux de sa frontière" est juste. On s'appuie sur cette propriété pour la caractérisation suivante : On sait que il n'y a pas de points plus proches de la frontière que ceux dans l'ouvert associé. La réciproque, "il n'existe pas d'elements plus proche d'un ouvert $U$ (qui ne soit pos dans $U$) que ceux de sa frontière" est juste. On s'appuie sur cette propriété pour la caractérisation suivante :
...@@ -268,6 +288,7 @@ Soit $\Cn$ et $U \subseteq \R^n$, $U$ est ouvert si et seulement si : ...@@ -268,6 +288,7 @@ Soit $\Cn$ et $U \subseteq \R^n$, $U$ est ouvert si et seulement si :
\forall x \in U, \exists r \in \R : \B(x, r) \subseteq U \forall x \in U, \exists r \in \R : \B(x, r) \subseteq U
\end{equation} \end{equation}
En somme, il est impossible d'atteindre la frontière d'un ouvert on avancant d'un ouvert contenu ou égal à $U$. En somme, il est impossible d'atteindre la frontière d'un ouvert on avancant d'un ouvert contenu ou égal à $U$.
\label{thmCaract}
\end{theorem} \end{theorem}
...@@ -292,10 +313,10 @@ En somme, il est impossible d'atteindre la frontière d'un ouvert on avancant d' ...@@ -292,10 +313,10 @@ En somme, il est impossible d'atteindre la frontière d'un ouvert on avancant d'
\end{figure} \end{figure}
Ce comportement diffère fortement chez les fermés comme on le verra après. Ce comportement diffère fortement chez les fermés comme on le verra après.
On définit alors l'intérieur de $U$ noté $\interior{U}$ comme l'union de tout les ouverts contenus dans $U$. Il est évident d'après la définition que $U$ est ouvert si et seulement si $U = \interior{U}$. De même on définit \textit{l'adhérence de $U$} noté $\overline{U}$ comme l'intersection de tout les fermés contenant $U$. De même $U$ est fermé si et seulement si $U = \overline{U}$. On définit alors l'intérieur de $U$ noté $\interior{U}$ comme l'union de tout les ouverts contenus dans $U$. Il est évident d'après la définition que $U$ est ouvert si et seulement si $U = \interior{U}$. De même on définit \textit{l'adhérence de $U$} noté $\overline{U}$ comme l'intersection de tout les fermés contenant $U$. De même $U$ est fermé si et seulement si $U = \overline{U}$. On définit enfin le bord de $U$ comme précisément les points de $\overline{U} - \interior{U}$.
Visuellement, l'adhérence de $U$ peut être pensée comme la meilleure approximation fermée de $U$ qui contienne $U$. De même l'intérieur est la meilleur approximation ouverte de $U$ qui soit contenue dans $U$.
\begin{figure}[htb!]
\begin{figure}[htb]
\begin{center} \begin{center}
\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,inner sep=0.5pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-0pt}] \begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,inner sep=0.5pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-0pt}]
...@@ -326,6 +347,122 @@ Visuellement, l'adhérence de $U$ peut être pensée comme la meilleure approxim ...@@ -326,6 +347,122 @@ Visuellement, l'adhérence de $U$ peut être pensée comme la meilleure approxim
\end{center} \end{center}
\end{figure} \end{figure}
Visuellement, l'adhérence de $U$ peut être pensée comme la meilleure approximation fermée de $U$ qui contienne $U$. De même l'intérieur est la meilleure approximation ouverte de $U$ qui soit contenue dans $U$.
\paragraph{Caractérisation par les voisinnages}
Il est possible de décrire de manière plus pratique l'intérieur et l'adhérence d'un ensemble à l'instar de ce qui est fait au Théorème~\ref{thmCaract}, la caractérisation de l'intérieur sera très similaire à celle d'un ouvert et s'explique comme auparavant.En effet l'intérieur comme il est ouvert contient un voisinnage de chacun de ses points. Pour l'adhérence il faut garder en tête que les points du bord sont les plus proches points de l'ensemble qu'ils entourent. Ainsi il serait impossible de trouver un voisinnage d'un point du bord qui n'intersècte pas l'ensemble d'origine puisque celà identifirai un "espace" entre l'ensemble et son bord.
\begin{theorem} [Caractérisation de l'adhérance par les voisinnages]
Soit $\Cn$, $A\subseteq \R^n$ alors :
\begin{equation}
\forall x \in \R^n, x \in \overline{A} \Leftrightarrow \forall U\in \tau_{\R^n} x\in U \implies U \cap A \neq \emptyset
\end{equation}
\end{theorem}
\paragraph{Caractérisation par les suites}
\begin{definition} [Suites]
Soit $\Cn$, on dit d'une fonction $x:\N \rightarrow \R^n$ qu'il s'agit d'une suite. De plus soit $l\in \R^n$, si pour tout voisinnages $U$ de $l$, il existe un $N\in \N$ tel que
\begin{equation}
\forall k > N, x(k) \in U
\end{equation}
On dit de $l$ qu'il s'agit de la limte de la suite $x$ et on note $l = limitseq x$. Les limites quand elles existent sont uniques. De plus on écrira souvent $\forall k \in \N, x_k = x(k)$. On dit d'une suite qui possède une limite qu'elle est convergente et divergente autrement.
\end{definition}
Cette caractérisation est identique aux epsilon delta (prenez pour voisinnage $U$ les boules de rayon $\epsilon$ pour obtenir la définition traditionelle) mais permet d'appréhender la notion de cconvergence de maniere plus générale : Pour tout voisinnage (aussi petit soit il) autour d'un point limite, il existe toujours un moment à partir du quel la suite "reste" dans ce voisinnage.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,inner sep=0.5pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-0pt}]
\coordinate (c) at (0,0);
\draw plot[variable=\x,samples at={0.3,0.6,...,8},only marks,mark=*,
mark options={green}, ] (\x,{exp(1/(- \x))});
\draw plot[variable=\x,samples at={0.4,0.6,...,8},only marks,mark=*,
mark options={red}, ] (\x,{exp(1/(-0.1*\x)) + sin(1/\x)+1+1/\x*rnd });
\draw[dashed,blue,rounded corners=1mm] (c) \irregularcircle{2.15cm}{2mm};
\draw[dashed,blue,rounded corners=1mm] (0.7, 0) \irregularcircle{1.15cm}{2mm};
\draw[dashed,blue,rounded corners=1mm] (0.5, 0) \irregularcircle{0.75cm}{1.2mm};
\draw[dashed,blue,rounded corners=1mm] (0.2, 0) \irregularcircle{0.2cm}{0.3mm};
\end{tikzpicture}
\caption{Convergence et divergence d'une suite dans $\R^n$}
\label{fig:5}
\end{center}
\end{figure}
Les suites de part leur notion de limite ont un lien avec la notion de fermé et d'ouvert illustré dans le théorème qui suit. L'intuition est que la limite est un élément dont on peut s'approcher infiniment près grace à la suite (comme avec les ouverts et leur bords).
\begin{theorem}[Caractérisation de la notion de fermé par les suites]
Soit $\Cn$, $A\subseteq \R^n$, et $x : \N \rightarrow \R^n$ telle que $\forall k \in \N, x(k) \in A$. Alors si $x$ converge :
\begin{equation}
\limitseq x \in \overline{A}
\end{equation}
De plus $\forall a \in \overline{A}$, il existe $x_a : \N \rightarrow \R^n$. Ainsi une \textit{condition nécéssaire et suffisante} pour qu'un point appartienne à l'adhérence d'un ensemble est l'existance d'une suite dans cet ensemble qui converge vers ce point.
\end{theorem}
Pour les points dans l'intérieur de $A$ ce théorème est trivial puisque la suite constante convient ($\forall a \in \interior{A}$ on choisit $ x: \N \rightarrow \R^n$ tel que $\forall k \in \N, x(k) = a$ alors $\limitseq x = a$). Le théorème est plus interessant pour les points du bords de $A$ pour lesquels il explicite la notion de proximité avec l'ensemble $A$. Un point du bord est aussi proche d'un point de $A$ qu'un point d'une suite peut être proche de sa limite. Cette condition est le plus souvent utilisée comme propriété des fermé ou comme outil pour démontrer qu'un ensemble n'est pas fermé.
\section{Fonctions $\Cr$}
Dans cette section on étudiera les différentes condition de régularité que l'on peut imposer à une fonction. Une métaphore utile est de considérer la \textit{rigidité} d'une fonction, à quel point une fonction peut être déformée rapidement locallement. Une fonciton continue peut avoir une variation arbitraire en bref plier selon n'importequel angle, à l'inverse les fonctions lees plus régulières que nous considèreront, les fonctions $\C^\infty$ ne peuvent varier que sufisemment lentement. Pour l'étude de ces fonctions on s'appuira sur le shcéma suivant :
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,inner sep=0.5pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-0pt}]
\coordinate (c) at (0,0);
\draw (c) circle (1cm);
\draw (c) [dashed]circle (1.1cm);
\draw (c) [dashed]circle (1.05cm);
\draw (c) [dashed]circle (1.7cm);
\draw (c) circle (2.15cm);
\draw (c) circle (2.5cm);
\draw (c) circle (2.85cm);
\draw (c) ellipse (5cm and 3.3cm);
\draw (-0.5,0) ellipse (4.3cm and 3cm);
\node[label=$\C^\infty$] at (0,-0.3) {};
\node[label=$\ldots$] at (1.35,-0.3) {};
\node[label=$\D^2$] at (1.95,-0.3) {};
\node[label=$\C^1$] at (2.33,-0.3) {};
\node[label=$\D^1$] at (2.7,-0.3) {};
\node[label=$\C^0$] at (4,-0.3) {};
\node[label=$P^1$] at (-3.5,-0.3) {};
\end{tikzpicture}
\caption{Classes de fonctions par inclusions dans $\R^n$}
\label{fig:6}
\end{center}
\end{figure}
Soit $\forall k, n \in \N$, on notera alors :
\begin{description}
\item [$\C^0(\R^n)$] L'ensemble des fonctions $\R^n \rightarrow \R$ continues .
\item [$\D^k(\R^n)$] L'ensemble des fonctions $\R^n \rightarrow \R$ dérivables $k$ fois.
\item [$\C^k(\R^n)$] L'ensemble des fonctions $\R^n \rightarrow \R$ continuement différentiable $k$ fois.
\item [$P^k(\R^n)$] L'ensemble des fonctions $\R^n \rightarrow \R$ dont toutes les $k$-iemes dérivées partielles existent.
\item [$\C^\infty(\R^n)$] L'ensemble des fonctions $\R^n \rightarrow \R$ $r$ fois continuement dérivables pour tout $r\in \N$.
\end{description}
dcs
\\
% For tables use % For tables use
\begin{table*}[htb] \begin{table*}[htb]
% table caption is above the table % table caption is above the table
...@@ -345,6 +482,7 @@ $\interior{A}$ & Intérieur de $A$\\ ...@@ -345,6 +482,7 @@ $\interior{A}$ & Intérieur de $A$\\
$\partial A$ & Frontière de $A$ \\ $\partial A$ & Frontière de $A$ \\
$d_2$ & Métrique euclidienne \\ $d_2$ & Métrique euclidienne \\
$\tau_{\R^n}$ & Ensemble des ouverts (induits par $d_2$) de $\R^n$\\ $\tau_{\R^n}$ & Ensemble des ouverts (induits par $d_2$) de $\R^n$\\
$\Cr$ & Fonctions $r$ fois continuement différentiables, si $r=0$, Fonctions continues\\
\noalign{\smallskip}\hline \noalign{\smallskip}\hline
\end{tabular} \end{tabular}
......
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