Unverified Commit 74a61180 authored by Alexandre Esteban Sallinen's avatar Alexandre Esteban Sallinen
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Foncitons continues

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\RequirePackage{fix-cm}
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% etc.
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% please place your own definitions here and don't use \def but
......@@ -54,6 +55,7 @@
% Insert the name of "your journal" with
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\begin{document}
\title{Condensé d'Analyse}
......@@ -62,8 +64,7 @@
\author{Alexandre Sallinen}
\institute{Alexandre Sallinen \\
\email{alexandre.sallinen@epfl.ch}
}
\email{alexandre.sallinen@epfl.ch} }
\maketitle
......@@ -74,7 +75,7 @@ L'ordre dans lequel seront présenté ces sujets a été choisis pour offrir une
\end{abstract}
\section{$\R^n$ et sa topologie} \label{intro}
\section{$\R^n$ et sa topologie} \label{Intro}
\subsection{Rappels : Opérations sur des ensembles } \label{Ens}
\paragraph{ \textbf{Espaces produits}}
......@@ -378,7 +379,7 @@ Soit $\Cn$, on dit d'une fonction $x:\N \rightarrow \R^n$ qu'il s'agit d'une sui
\begin{equation}
\forall k > N, x(k) \in U
\end{equation}
On dit de $l$ qu'il s'agit de la limte de la suite $x$ et on note $l = limitseq x$. Les limites quand elles existent sont uniques. De plus on écrira souvent $\forall k \in \N, x_k = x(k)$. On dit d'une suite qui possède une limite qu'elle est convergente et divergente autrement.
On dit de $l$ qu'il s'agit de la limte de la suite $x$ et on note $l = \limitseq x$. Les limites quand elles existent sont uniques. De plus on écrira souvent $\forall k \in \N, x_k = x(k)$. On dit d'une suite qui possède une limite qu'elle est convergente et divergente autrement.
\end{definition}
Cette caractérisation est identique aux epsilon delta (prenez pour voisinnage $U$ les boules de rayon $\epsilon$ pour obtenir la définition traditionelle) mais permet d'appréhender la notion de cconvergence de maniere plus générale : Pour tout voisinnage (aussi petit soit il) autour d'un point limite, il existe toujours un moment à partir du quel la suite "reste" dans ce voisinnage.
......@@ -420,6 +421,7 @@ De plus $\forall a \in \overline{A}$, il existe $x_a : \N \rightarrow \R^n$. Ain
\end{theorem}
Pour les points dans l'intérieur de $A$ ce théorème est trivial puisque la suite constante convient ($\forall a \in \interior{A}$ on choisit $ x: \N \rightarrow \R^n$ tel que $\forall k \in \N, x(k) = a$ alors $\limitseq x = a$). Le théorème est plus interessant pour les points du bords de $A$ pour lesquels il explicite la notion de proximité avec l'ensemble $A$. Un point du bord est aussi proche d'un point de $A$ qu'un point d'une suite peut être proche de sa limite. Cette condition est le plus souvent utilisée comme propriété des fermé ou comme outil pour démontrer qu'un ensemble n'est pas fermé.
\newpage
\section{Fonctions $\Cr$} \label{Func}
......@@ -473,7 +475,7 @@ Soit $\forall k, n \in \N$, on notera alors :
\item [$\C^\infty(\R^n)$] L'ensemble des fonctions $\R^n \rightarrow \R$ $r$ fois continuement dérivables pour tout $r\in \N$.
\end{description}
On étudiera ces fonctions dans l'ordre décroissant d'inclusions (en commencant par les fonctions continues) puis appliqueront ces connaissances à la résolution d'équations différentielles et au calcul d'intégrales.
On étudiera ces fonctions dans l'ordre décroissant d'inclusions (en commencant par les fonctions continues) puis appliqueront ces connaissances à la résolution d'équations différentielles et au calcul d'intégrales. On notera comme précédemment mais avec un deuxieme symbole pour préciser l'ensemble d'arrivé. Par exemple $\C^k(\R^n) = \C^k(\R^n, \R)$.
\subsection{Fonctions continues de $\R^n$ dans $\R$}
......@@ -484,9 +486,10 @@ Soit $\Cn$, on possède maintenant une \textit{topologie} sur $\R^n$ à savoir u
Soit $\Cn$, et $U\in \tau_{\R^n}$, $\mathcal{F}(U, \R)$ l'ensemble des fonctions de $U$ dans $\R$, on définit l'ensemble des fonctions \textit{continues} de $U$ dans $\R$, $\C^0(U, \R) \subseteq \mathcal{F}(U, \R)$ par :
\begin{equation}
\{ f: U \rightarrow \R \mid \forall x \in U, \forall \epsilon \in \R^*_+, \exists \delta \in \R^*_+ \text{ } \newline \forall y \in \B(x, \delta) \cap U \implies \vert f(x) - f(y)\vert < \epsilon \}
\end{equation}
\end{equation} \label{Continuity}
$\forall k \in \N$ on peut similairement définir les fonctions continues de $\R^n$ dans $\R^k$ en remplacant la dernière valeur absolue par la distance euclidienne définie à la definition~\ref{Euclid}.
$\forall k \in \N$ on peut similairement définir les fonctions continues de $\R^n$ dans $\R^k$ en remplacant la dernière valeur absolue par la distance euclidienne définie à la definition~\ref{Euclid}. On définit les fonctions \textit{continues en un points} $x\in U$ celles qui respectent l'équation (15) en $x$, dans ce cas on note :
$$ \lim_{z \to x} f(z) = \lim_{(u_1,u_2, \ldots) \to (x_1, x_2, \ldots)} f(u_1, u_2, \ldots) = x$$
\end{definition}
L'ensemble des focntions continues sur $\R^n$ à valeurs dans $\R$ (ou dans $\R^k$) muni de l'addition en chaque point forme un espace vectoriel de dimension infinie sur $\R$. Il s'agit même d'un \textit{anneau} ce qui se traduit par les propriétés suivantes :
......@@ -510,9 +513,9 @@ fg \in \C^0(U, \R) \quad (\forall x \in U (fg)(x) = f(x)g(x) )
En bref la propriété d'etre continue est stable par addition, par multiplication par un réel et par multiplication par une fonciton continue. Ces propriétés sont très utiles pour décider si une fonciton est continue ou pas.
\end{theorem}
A la vue d'une fonction que l'on vous demande d'étudier demandez vous si vous pouvez la décomposer comme somme ou produit de foncitons que vous savez continues. Une autre propriété de stabilité est celle par \textit{composition}. Soit $X, Y, Z$ des ensembles et $g : X \rightarrow Y, f : Y \rightarrow Z$ on note $f \circ g$ la focntion $X \rightarrow Z$ définie par $\forall x \in X, f\circ g(x) = f(g(x))$.
A la vue d'une fonction que l'on vous demande d'étudier demandez vous si vous pouvez la décomposer comme somme ou produit de foncitons que vous savez continues. Une autre propriété de stabilité est celle par \textit{composition}. Soit $X, Y, Z$ des ensembles et $g : X \rightarrow Y, f : Y \rightarrow Z$ on note $f \circ g$ la fonction $X \rightarrow Z$ définie par $\forall x \in X, f\circ g(x) = f(g(x))$.
\begin{theorem} [Algèbbre des fonctions continues]
\begin{theorem} [Algèbre des fonctions continues]
Soit $k, n \in \N$ et $U\in \tau_{\R^n}, V \in \R^k$, $f \in \C^0(U, V)$, et $ g \in \C^0(V, \R)$ alors :
......@@ -522,31 +525,133 @@ g\circ f \in \C^0(\R^n, \R)
\end{theorem}
\subsection{Suites onvergentes et limites dans $\R^n$}
Tout comme la notion d'ouvert pouvait être caractérisée par les suites la notion de continuité peut l'être aussi. Ainsi on aboutit au théorème suivant :
\begin{theorem}[Caractérisation de la continuité par les suites]
Soit $\Cn$ et $f : \R^n \rightarrow \R$ et $\forall x \in \R^n$ alors $f$ est continue en $x$ si et seulement si pour toute suite $ (x_n)_{n \in \N}$ de $\R^n$ convergeant en $x$ :
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)
\end{equation}
\end{theorem}
On remarque que le théorème demande de vérifier pour toute suite convergeant vers un point. Cet ensemble est évidemment très grand et il est souvent difficile de prouver la continuité en un point en utilisant cette caractérisation. Cependant c'est ce qui rend sa contraposée particulièrement utile puisqu'il suffit de trouver une suite convergeant vers $x$ telle que
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq f(x)$. Bien sur on peut étendre cette caractérisation à celle d'une courbe $\R \rightarrow \R^n$ qui tend vers $x$ en un certain point.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\pgfplotsset{
colormap={whitered}{color(0cm)=(white); color(1cm)=(orange!75!red)}
}
\begin{axis}[ colormap name=whitered, view={45}{65}, width=10cm,colorbar,
colorbar style={
at={(1,-0.1)},
anchor=south west,
height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height},
title={$f(x,y)$}
}]
\addplot3[domain=-10:10,surf,z buffer=sort,samples=31] {x*y/(x*x+y*y)};
\addplot3[variable=t, mesh, draw=green!50, domain=-10:0] ({t},{t},1/2);
\addplot3[variable=u, mesh, draw=blue!100, domain=0:100] ({1/10*u*cos(2*u)},{1/15*u*sin(2*u)}, {cos(2*u)*sin(2*u)});
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption{Une fonction dont la limite selon une suite existe mais pas une autre. La suite verte est $(t,t)$ et la suite bleue $(t\cos(2t), t\sin(2t))$ et la fonction représentée est $(x,y) \mapsto \dfrac{xy}{x^2+y^2}$}
\label{fig:7}
\end{center}
\end{figure}
De bonnes classes de courbes (fonctions $\R \rightarrow \R^n$) à tester dans le cas de la continuité en $0_{\R^n}$ (décaler la fonction n'est pas compilqué donc cela s'applique à tout point de $\R^n$) sont (dans le cas $\R^2$) :
\begin{description}
\item [$t \mapsto (\alpha t, \beta t)$] pour $\alpha, \beta \in \R$ sont des rayons droits.
\item [$t \mapsto (t\cos(t), t\sin(t))$] la spirale logarithmique, utile pour \textit{annuler} des dénominateurs de la forme $x^2+y^2$ ou des logarithmes.
\item [$t \mapsto (t^l, t^k)$] pour $l, k \in \N$ permet d'efficacement éliminer des racines.
\item [$t \mapsto (log(t)^{-1}, t)$] permet d'efficacement éliminer des exponentielles.
\end{description}
\paragraph{Différentes limites sur fonctions multivariables}
Soit $\Cn$ il est possible de définir d'autres limites que celle définie en définiton ~\ref{Continuity}. On se limite au cas $\R^2$ pour cette discussion. En effet, $\forall f : \R^2 \rightarrow \R$ $\forall z \in \R$ on peut définir deux fonctions :
$$ f_z : \R \rightarrow \R \text{ et } f^z : \R \rightarrow \R $$
$$ f_z(x) = f(x,z) \text{ et } f^z(x) = f(z,x)$$
On peut alors prendre la limite de ces fonctions individuellement, on peut même une fois que celà est fait, prendre la limite selon $z$ en considérant $\forall x \in \R, z\mapsto f_z(x)$ comme une fonciton $ \R \rightarrow \R $. Pour simplifier un peu les notations on notera $\forall x_0,y_0 \in \R$:
$$\lim_{x\to x_0} f(x,y) = \lim_{x\to x_0} f_y(x)$$
$$\lim_{y\to y_0} f(x,y) = \lim_{y\to y_0} f^x(y)$$
On peut alors reprendre la limite pour obtenir trois limites différentes sur $f$ :
$$ \lim_{y\to y_0} \lim_{x\to x_0} f(x,y) \quad
\lim_{x\to x_0} \lim_{y\to y_0} f(x,y) \quad
\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y)$$
Une propriété très piégeante de ces limite est que il existe des fonctions pour lesquelles \textbf{exactement} deux de ces limites existent et se valent, des focntions pour lesquelles exactement une de ces limite existe, et des fonctions pour lesquelles les deux premières existent mais ne se valent pas. En effet la seule implication vraie ici est la suivante :
\begin{theorem} [Continuité et limites partielles]
Soit $f : \R^2 \rightarrow \R$, alors si la limite suivante existe :
\begin{equation}
\lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x,y) = l \in \R
\end{equation}
alors si l'une des limites suivantes (ou les deux) existent elle(s) vaut $l$:
\begin{equation}
\lim_{y\to y_0} \lim_{x\to x_0} f(x,y)
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{x\to x_0} \lim_{y\to y_0} f(x,y)
\end{equation}
\end{theorem}
Une dernière propriété des focntions continues qui sera utile bien plus tard est que l'image d'un compact par une fonciton continue est compact (et donc une fonciton continue sur un compact admet des extremas). Voici pour finir cette sous section une liste de propositions \textbf{fausses} :
\begin{enumerate}
\item L'image d'un ouvert par une fonction continue est ouvert.
\item L'image d'un fermé par une fonction continue est fermé.
\item Un ensemble esst soit ouvert soit fermé.
\item L'existance des limites partielles et leur égalité implique la continuité.
\end{enumerate}
\newpage
% For tables use
\begin{table*}[htb]
% table caption is above the table
\caption{Liste des symboles utilisés}
\label{tab:1} % Give a unique label
% For LaTeX tables use
\subsection{Dérivées partielles et plan tangent}
\newpage
\begin{table*}
\caption{Liste des symboles utilisés}
\label{tab:1}
\begin{tabular}{rl}
\hline\noalign{\smallskip}
Symbole & Description \\
\noalign{\smallskip}\hline\noalign{\smallskip}
$2^X$ & L'ensemble des sous ensembles de $X$\\
$2^X$ & L'ensemble des sous ensembles de $X$ \\
$\B(x, r)$ & Boule ouverte de rayon $r$ et de centre $x$ \\
$\mathtt{B}$ & Ensemble des boules ouvertes de rayon réel et de centre dans $\R^n$\\
$\mathtt{B}$ & Ensemble des boules ouvertes de rayon réel et de centre dans $\R^n$ \\
$\overline{A}$ & Adhérance de $A$ \\
$\interior{A}$ & Intérieur de $A$\\
$\interior{A}$ & Intérieur de $A$ \\
$\partial A$ & Frontière de $A$ \\
$d_2$ & Métrique euclidienne \\
$\tau_{\R^n}$ & Ensemble des ouverts (induits par $d_2$) de $\R^n$\\
$\tau_{\R^n}$ & Ensemble des ouverts (induits par $d_2$) de $\R^n$ \\
$\Cr$ & Fonctions $r$ fois continuement différentiables, si $r=0$, Fonctions continues\\
$P^1$ & Fontions dont les dérivées partielles existent en tout points \\
$\mathcal{F}(A, B)$ & Ensemble des fonctions de $A$ vers $B$ \\
\noalign{\smallskip}\hline
\end{tabular}
\end{table*}
\end{document}
......
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