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}
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\begin{document}

\title{Condensé d'Analyse}
\subtitle{Réele à plusieurs variables}

\author{Alexandre Sallinen}

\institute{Alexandre Sallinen \\
              \email{alexandre.sallinen@epfl.ch}
}

\maketitle

\begin{abstract}

Le présent ouvrage a pour but d'offrir une exposition claire et concise aux principes de l'analyse réele sur les espaces produits de $\R$. Seront abordés la résolution d'équation différentielle linéaires de premier et second ordre, des bases de topologies, une exploration des conditions de régularité sur les fonctions à valeurs dans $\R$ et de leurs intégrales. 
L'ordre dans lequel seront présenté ces sujets a été choisis pour offrir une exposition naturelle et de sorte à construire une intuition géométrique pour le lecteur.
\end{abstract}


\section{$\R^n$ et sa topologie} \label{intro}
\subsection{Rappels : Opérations sur des ensembles } \label{Ens}
\paragraph{ \textbf{Espaces produits}} On rappelle qu'a tout ensembles $A,B$ on peut associer un ensemble nommé \textit{produit cartésien} de $A$ et $B$ noté $A \times B$ défini comme étant l'ensemble des paires d'éléments de $A$ et $B$, plus formellement $A \times B = \{ (a,b) \mid a \in A \text{ et } b \in B \}$. Cette opération est évidemment associative (les deux enssembles $A \times (B \times C)$ et $(A \times B) \times C$ sont en bijection) donc on ommetra les parenthèses lors du produit de plus de deux ensembles. On note en particulierr $A \times A = A^2$ et récursivement pour $n\in \N$, $A \times A^n = A^{n+1}$. Soit $n\in \N$, et $x \in A^n$ on définit $\forall i \leq n$ $x_i \in A$ comme la $i$-ème composante du $n$-uplet $x$ et si $\forall j \leq n,$ $x_i = x_j = a \in A$ (toutes les composantes sont égales et valent $a$) on note $x = a_{A^n}$

Pour des raisons purement géométrique on appelera $\R^2$ le \textit{plan} et $\R^3$ \textit{l'espace}. En effet c'est ainsi qu'on se les représentera pour le reste du résumé. On confondra le nom de \textit{point} et d'élément d'un ensemble.

\paragraph{ \textbf{Dénombrement}} On dit d'un ensemble qu'il est \textit{dénombrable} si il existe une bijection entre lui et (un sous ensemble de) l'ensemble $\N$. Entre autres, tout ensemble fini est dénombrable, $\Q, \Z, \N$ et n'importe quel produit cartésien fini($\Q^2, \Z \times \N \ldots$) de ces ensembles est dénombrable. 

\paragraph{ \textbf{Ensemble des parties d'un ensemble}} Soit $A$ un ensemble on note $2^X$ l'ensemble des sous ensembles de $A$ ( la notation fait référence à la cardinalité de $2^X$ pour $X$ fini).
 
\subsection{Ouverts : Motivations} \label{Ouv}

\paragraph{ \textbf{Métrique, proximité et intuitions}} On définit les notions de ce chapitre dans $\R^n$ pour $n \in \N$ mais on les illustrera systématiquement dans $\R^2$.
Cette première section a pour but de motiver l'utilisation d'ouverts et d'en donner une explication intuitive.\\
Soit $x_0$ un point du plan, il est interessant de se demander comment parler de points \textit{proches} de $x_0$. Comme le plan n'est pas borné (il s'étend à l'infini) la sphère de rayon $1$ et de centre $x_0$ n'est pas particulièrement petite et celle de rayon $10^{100}$ pas particulièrement grande à l'échelle de $\R^2$. Pour définir la notion de proximité il faut donc s'attacher à une notion différente que la "taille" de l'ensemble considéré. Une des plus belles constructions mathématiques du \emph{XIX} siècle caractérise la proximité par la notion \textit{d'ouverts}. Pour cela on utilise la notion de métrique, une fonction $d : \R^n \times \R^n \rightarrow \R$ qui fournit une notion de distance sur $\R^n$. Plus précisément elle doit respecter des lois de positivité, nullité seulement pour un même point et la loi du triangle. 
Pour cette introduction on ne considèrera que la distance dite \textit{euclidienne} qui consiste à prendre la racine de la somme des carrés des différences des composantes de deux points (définitions formelles à la section~\ref{Top} ).\\\linebreak
\paragraph{ \textbf{Boules ouvertes et fermées}} Si l'on considère l'ensemble des points à une distance inférieure ou égale à $r\in \R$ de $x_0$ dans le plan on récupère la \textit{boule fermée de rayon $r$ autour de $x_0$} que l'on note $\overline{\B(x_0, r)}$ (notez bien la barre au dessus). Les points qui sont à la distance précisément $r$ de $x_0$ forment une sphère (sans l'intérieur) et sont la frontière entre  domaine et le plan (imaginez donc un pays circulaire, ce sont ces points qu'on appelerai sa frontiere sur une carte), on note cet ensemble $\partial \B(x_0, r)$. Enfin les points qui sont à une distance strictement inférieure à $r$ de $x_0$ sont notés $\B(x_0, r)$ et est appelé boule \textit{ouverte} de centre $x_0$ et de rayon $r$. 

\begin{figure}[htb!]
\centering

\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=red,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}]

  	\shade[ball color = gray!40, opacity = 0.4] (0,0) circle (2cm);
  
 	\node at (-0.2,0) {$x_0$};
 	\node at (-1,1) {$\B(x_0, r)$};

 	\draw [dashed](0,0) circle (2cm);
 	
   	\draw [dashed] (0,0 ) -- node[above]{$r$} (1.41,1.41);
   	
   	
 	\node at (5.2,0) {$x_0$};
 	\node at (2.9,1.7) {$\partial \B(x_0, r)$};

 	\draw (5,0) circle (2cm);
 	
   	\draw [dashed] (5,0 ) -- node[above]{$r$} (6.41,1.41);


\end{tikzpicture}

\begin{center}
	\caption{La boule ouverte de rayon $r$ et de centre $x_0$ et sa frontière  }
	\label{fig:1} 
\end{center}
\end{figure}


Une propriété interessante est alors discernable : pour tout point $x$ de $\partial \B(x_0, r)$ il existe des points de $\B(x_0, r)$ à des distances arbitrairement petite de $x$. Plus rigouresement $\forall A \in \partial \B(x_0, r) \forall \epsilon \in \R, \epsilon > 0, \exists B \in \B(x_0, r) : d(A, B) < \epsilon$. En d'autre mots les points de la frontière sont les points les plus proches d'etre dans $\B(x_0, r) $ et il n'existe aucun point qui se situerai entre la frontière et l'ensemble qu'elle délimite. 
Il s'agit là d'une notion intuitive de frontière et de proximite. Cette intuition est une bonne caractérisation de la notion "d'ouvert" et de "fermé". Les fermés possèdent leur frontière, ils permettent de modéliser des objets tangibles là ou les ouverts capturent une notion d'intérieur. On construira les ouverts en général comme des unions de boules ouvertes et les fermés comme des intersections de boules fermées qu'on considèrera comme des "recollements". 




\begin{figure}[htb!]
\centering
\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=red,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}]

  	\shade[ball color = gray!40, opacity = 0.4] (0,0) circle (2cm);
  	\shadedraw[dashed, shading=axis, opacity = 0.7]
  	 (4.5, -1.5) arc(-90:90:0.5 and 1.5);

 	\node[ele,label=right:$A$] at (2.05,0) {};
 	\node[ele,label=right:$A$] at (5.05,0) {};

 	\node at (-0.2,0) {$x_0$};
 	\node at (-2,2) {$\B(x_0, r)$};
 	\node at (4,0) {$\B(x_0, r)$};

 	\node (a1)  at (1.95, 0.45) {};
 	\node (a2)  at (1.95, -0.45) {};
	\node (b1)  at (5, 2) {};
 	\node (b2)  at (5, -2) {};
 	
 	\draw [dashed](0,0) circle (2cm);
 	\draw (2.05,0) circle (0.5cm);
 	
 	\draw [-,thick,shorten <=2pt,shorten >=2pt] (a1) -- (b1);
 	\draw [-,thick,shorten <=2pt,shorten >=2pt] (a2) -- (b2);

   	\draw [dashed] (0,0 ) -- node[above]{$r$} (1.41,1.41);
   	\draw  [dashed](1.55, 0) -- node[above]{$\epsilon$} (2,0 );

\end{tikzpicture}
\begin{center}
\caption{La boule ouverte de rayon $r$ et de centre $x_0$ et un point $A\in \partial \B(x_0, r)$. 		Pour tout $\epsilon >0$ il existe un point dans $\B(x_0, r)$ à distance $\epsilon$ de $A$}
	\label{fig:2} 
\end{center}
\end{figure}
\subsection{Topologie standard de $\R^n$} \label{Top}


\paragraph{Définitions formalisées} Cette section s'interesse à donner les définitions de quelques structures qui seront utiles pour la suite et qui ont été motivées à la section précédente.
\begin{definition} [Métrique euclidienne]
Soit $n\in \N $ et $x,y \in \R^n$, on définit la métrique euclidienne $d_2^n : \R^n \times \R^n \rightarrow \R$ par (on omet le $n$ quand le contexte est évident par intense flemmardise de l'auteur) : 
\begin{equation}
d_2(x, y) = \sqrt{\sum_{i = 0}^n (x_i - y_i)^2)}
\end{equation} 
On peut facilement vérifier qu'elle rspecte les propriétés d'une métrique à savoir : 
\begin{equation}
 d_2(x,y)\geq 0 
 \end{equation} 
 \begin{equation}
 d_2(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y 
 \end{equation} 
 \begin{equation}
 d_2(x,y)=d_2(y,x) 
 \end{equation}
 \begin{equation} 
 \forall z \in \R^n, d_2(x,y)+d_2(y,z)\geq d_2(x,z)
\end{equation} 

C'est la métrique que nous simples humains utilisons dans notre vie concrète. De nombreuses autres métriques sur $\R^n$ existent mais n'entrent pas dans le cadre de ce résumé. \footnote{Le lecteur peut néanmoins etre rassuré, toutes les métriques invariantes par translation (c'est à dire que $ 
 \forall z \in \R^n, d(x + z,y + z)=  d(x,y)$) génèrent des ouverts équivalents.  }
\end{definition}

On peut désormais définir rigoureusement les notions évoquées à la section précédente : 
\begin{definition} [Boule ouverte]
	Soit $\Cx$ et $r\in \R$. On définit la \textit{boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$} par l'ensemble : 
\begin{equation} 
 \B(x, r) = \{ y \in \R^n \mid d_2(x, y) < r \} \subseteq \R^n
\end{equation}
\end{definition}

\begin{definition} [Boule fermée]
	Soit $\Cx$ et $r\in \R$. On définit la \textit{boule fermée de centre $x$ et de rayon $r$} par l'ensemble : 
\begin{equation} 
 \overline{\B(x, r)} = \{ y \in \R^n \mid d_2(x, y) \leq r \} \subseteq \R^n
\end{equation}
\end{definition}

\begin{definition} [Frontière d'une boule]
	Soit $\Cx$ et $r\in \R$. On définit la \textit{frontière} de la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r$ par l'ensemble : 
\begin{equation} 
 \partial \B(x, r) = \{ y \in \R^n \mid d_2(x, y) =  r \} \subseteq \R^n
\end{equation}
\end{definition}

On peut désormais définir la notion d'ouvert et de fermé grace à notre nouvelle intuition. Les ouverts sont des "recollements" de boules ouvertes et les fermés sont des "découpages" de boules fermées

\begin{definition} [Ouverts et fermés]
	Soit $\Cn$  on définit l'ensemble des ouverts (engendrés par $d_2$) noté $\tau_{\R^n} \subseteq 2^{\R^n}$ par l'ensemble des sous ensembles de $\R^n$ qui sont des unions de boules ouvertes. Si on note $\mathtt{B}$ l'ensemble des boules ouvertes sur $\R^n$ on obtiens :
\begin{equation} 
 \forall E \subseteq \R^n E \in \tau_{\R^n} \Leftrightarrow \exists U \subseteq \mathtt{B} \text{ tel que } E = \cup_{B \in U} B
\end{equation}
Si $x \in \R^n$, un ouvert qui contient $x$s'appelle un \textit{voisinnage} de $x$.
On définit les fermés comme étant les \textit{complémentaires} d'ouverts dans $\R^n$ (si $U \in \tau_{\R^n}$ alors $\R^n - U$ est fermé). De manière équivalente si on note $ \overline{\mathtt{B}}$ l'ensemble des boules ouvertes sur $\R^n$ on peut définir que les fermés sont les intersections de boules fermées à savoir : 
\begin{equation} 
 \forall E \subseteq \R^n E \text{ fermé } \Leftrightarrow \exists F \subseteq \overline{\mathtt{B}} \text{ tel que } E = \cap_{B \in F} B
\end{equation}

En particulier, un fermé \textit{borné} (contenu dans une boule ouverte de rayon fini) est appelé un compact.
\end{definition}

\begin{figure}[htb!]
\centering
\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=red,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}]
\shadedraw[dashed, opacity = 0.5] (0,0) -- (4,0) -- (4,2) -- (0, 2);

\draw [dashed](2,1) circle (1cm);
\draw [dashed](3,1) circle (1cm);
\draw [dashed](1,1) circle (1cm);

\draw [dashed](0.25,0.25) circle (0.25cm);
\draw [dashed](3.75,1.75) circle (0.25cm);
\draw [dashed](3.75,0.25) circle (0.25cm);
\draw [dashed](0.25,1.75) circle (0.25cm);

\draw [dashed](0.5,0.125) circle (0.125cm);
\draw [dashed](3.5,1.875) circle (0.125cm);
\draw [dashed](3.5,0.125) circle (0.125cm);
\draw [dashed](0.5,1.875) circle (0.125cm);

\draw [dashed](1.25,0.25) circle (0.25cm);
\draw [dashed](2.75,1.75) circle (0.25cm);
\draw [dashed](2.75,0.25) circle (0.25cm);
\draw [dashed](1.25,1.75) circle (0.25cm);

\draw [dashed](0,0) rectangle (4, 2);

\end{tikzpicture}
\begin{center}
\caption{Les réctangles sans bord  sont des ouverts}
	\label{fig:3} 
\end{center}
\end{figure}

Il convient désormais de trouver une caractérisation plus simple d'un ouvert, en effet la réunion de boule ouverte a beau être très visuelle elle n'aide pas à caractériser les ouverts dans la pratique puisqu'elle requiert de trouver une union dd'ouvert qui recouvre parfaitement l'ensemble fournit ou de prouver qu'il n'en n'existe pas. On revient alors à notre intuition de proximité. 
On sait que il n'y a pas de points plus proches de la frontière que ceux dans l'ouvert associé. La réciproque, "il n'existe pas d'elements plus proche d'un ouvert $U$ (qui ne soit pos dans $U$) que ceux de sa frontière" est juste. On s'appuie sur cette propriété pour la caractérisation suivante : 

\begin{theorem} [Caractérisation des ouverts]
Soit $\Cn$ et $U \subseteq \R^n$, $U$ est ouvert si et seulement si :

\begin{equation} 
 \forall x \in U, \exists r \in \R : \B(x, r) \subseteq U
\end{equation}
En somme, il est impossible d'atteindre la frontière d'un ouvert on avancant d'un ouvert contenu ou égal à $U$. 
\end{theorem}



\begin{figure}[htb!]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,inner sep=0.5pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-0pt}]

	\coordinate (c) at (0,0);
  	\draw[dashed,blue,rounded corners=1mm] (c) \irregularcircle{2.15cm}{2mm};
 	\node[ele,label=right:$x$] at (1.70,0) {};
 	\draw [dashed](1.70,0) circle (3mm);
 	\draw (1.40,0) -- node[above]{$r$} (1.70,0);

 

\end{tikzpicture}

	\caption{Un ouvert contiens un voisinnage de chacun de ses points}
	\label{fig:4} 
\end{center}
\end{figure}

Ce comportement diffère fortement chez les fermés comme on le verra après. 
On définit alors l'intérieur de $U$  noté $\interior{U}$ comme l'union de tout les ouverts contenus dans $U$. Il est évident d'après la définition que $U$ est ouvert si et seulement si $U = \interior{U}$. De même on définit \textit{l'adhérence de $U$} noté  $\overline{U}$ comme l'intersection de tout les fermés contenant $U$. De même $U$ est fermé si et seulement si $U =  \overline{U}$.
Visuellement, l'adhérence de $U$ peut être pensée comme la meilleure approximation fermée de $U$ qui contienne $U$. De même l'intérieur est la meilleur approximation ouverte de $U$ qui soit contenue dans $U$.

\begin{figure}[htb!]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,inner sep=0.5pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-0pt}]

	\coordinate (c) at (0,0);
  	\draw[dashed,blue,rounded corners=1mm] (c) 						    \irregularcircle{2.15cm}{2mm};
 

 	\draw [dashed](0,0) circle (1.7cm);
 	\draw [dashed](0.5,0.3) circle (1.3cm);
 	\draw [dashed](-0.2,-0.5) circle (1.4cm);


 
 	\coordinate (d) at (5,0);
  	\draw[blue,rounded corners=1mm] (d) 						    \irregularcircle{1cm}{1mm};
 

 	\draw (5,0) circle (1.2cm);
 	\draw (5.1,0.3) circle (1.45cm);
 	\draw (4.9,-0.35) circle (1.4cm);



\end{tikzpicture}

	\caption{Construction de l'intérieur et de l'adhérence}
	\label{fig:4} 
\end{center}
\end{figure}

% For tables use
\begin{table*}[htb]
% table caption is above the table
\caption{Liste des symboles utilisés}
\label{tab:1}       % Give a unique label
% For LaTeX tables use

\begin{tabular}{rl}
\hline\noalign{\smallskip}
Symbole & Description \\ 
\noalign{\smallskip}\hline\noalign{\smallskip}
$2^X$ & L'ensemble des sous ensembles de $X$\\
$\B(x, r)$ & Boule ouverte de rayon $r$ et de centre $x$ \\
$\mathtt{B}$ & Ensemble des boules ouvertes de rayon réel et de centre dans $\R^n$\\
$\overline{A}$ & Adhérance de $A$ \\
$\interior{A}$ & Intérieur de $A$\\ 
$\partial A$ & Frontière de $A$ \\
$d_2$ & Métrique euclidienne \\
$\tau_{\R^n}$ & Ensemble des ouverts (induits par $d_2$) de $\R^n$\\
\noalign{\smallskip}\hline
\end{tabular}

\end{table*}

\end{document}
% end of file template.tex